Considereu la funció polinòmica f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c. a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c, sabent que la funció té un extrem relatiu en el punt d’abscissa 1 i que la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d’abscissa 0 és la recta y = 3. b) Per als valors a i b trobats, calculeu les abscisses dels extrems relatius de la funció i classifiqueu-los.
La derivada de la funció s'utilitza per trobar els extrems relatius. Les condicions donades permeten resoldre un sistema d'equacions per trobar a, b i c. La segona derivada ajuda a classificar els extrems.
Pregunta 2
Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: x + y + z = 1, 2x + ay + z = 2, ax + 2y + az = a. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. b) Resoleu el sistema per al cas a = 1.
El determinant de la matriu de coeficients determina la compatibilitat del sistema. Per a = 2, el sistema és compatible indeterminat. Per a = 1, el sistema és compatible determinat amb solució única.
Pregunta 3
Considereu el pla de vectors directors u = (1, 3, 2) i v = (2, 1, 0) i que passa pel punt A = (1, 0, 3). a) Calculeu l’equació de la recta que és perpendicular al pla i passa pel punt A. b) Calculeu la distància del punt P = (1, 5, 0) al pla.
El vector normal al pla es troba mitjançant el producte vectorial dels vectors directors. La distància d'un punt al pla es calcula amb la fórmula donada.
Pregunta 4
Sigui la matriu A = (1 0 0; 0 1 0; 0 0 α), en què α és un paràmetre real. a) Hi ha algun valor de α tal que A no tingui inversa per a aquest valor? b) Calculeu la matriu inversa de A^2 per a α = 1.
La matriu no té inversa si el determinant és zero. A^2 té inversa si el seu determinant és diferent de zero.
Pregunta 5
Considereu els punts de l’espai tridimensional A = (1, 1, 0), B = (3, 5, 0) i C = (1, 0, 0) i la recta r: x = y - 1 = z. a) Trobeu el punt d’intersecció de la recta r amb el pla que passa pels punts A, B i C. b) Trobeu els punts P de la recta r per als quals el tetraedre de vèrtexs P, A, B i C té un volum de 2 u^3.
El pla es determina pels punts A, B i C. La intersecció amb la recta es troba substituint en l'equació del pla. El volum del tetraedre es calcula amb el determinant dels vectors.
Pregunta 6
Siguin les funcions f(x) = x^2 - 1 i g(x) = 3 - x^2. a) Feu un esbós de les gràfiques de les paràboles f(x) i g(x) en un mateix sistema d’eixos cartesians i trobeu els punts de tall amb l’eix de les abscisses, els vèrtexs i els punts de tall entre les dues gràfiques. b) Calculeu l’àrea de la regió del semiplà compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x).
Les arrels de les funcions es troben igualant a zero. Els vèrtexs es troben a partir de la fórmula del vèrtex de la paràbola. L'àrea es calcula integrant la diferència de les funcions.
