Siguin les matrius M i N. a) Calculeu M·N i comproveu que la matriu resultant no és invertible. b) Trobeu els valors de t per als quals la matriu N·M és invertible.
La matriu M·N no és invertible perquè el seu determinant és zero. La matriu N·M és invertible per a qualsevol valor de t diferent d’1 i 2, ja que el determinant s’anul·la per a t = 1 i t = 2.
Pregunta 2
Sigui r la recta que passa pels punts A = (0, 1, 1) i B = (1, 1, –1). a) Trobeu l’equació paramètrica de la recta r. b) Calculeu tots els punts de la recta r que estan a la mateixa distància dels plans x + y + z = 0 i x - y + z = 0.
La recta paramètrica es troba utilitzant el punt A i el vector director AB. Els punts equidistants es troben igualant les distàncies als plans i resolent.
Pregunta 3
Sigui la funció f(x) = x^3 - x^2. a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica i que és paral·lela a la recta y = (-1/3)x. b) Calculeu els punts de màxim, mínim relatiu o punt d’inflexió.
La recta tangent es troba igualant la derivada de f(x) al pendent -1/3. Els punts crítics es determinen amb les derivades primera i segona.
Pregunta 4
Considereu els punts P = (3,-2,1), Q = (5,0,3), R = (1,2,3) i la recta r. a) Determineu l’equació general del pla que passa per P i Q i és paral·lel a la recta r. b) Trobeu m perquè el pla x + 2y + mz = 7 i el pla que passa per P, Q i R siguin paral·lels i no coincidents.
El pla es determina utilitzant vectors normals. Els plans són paral·lels si els vectors normals són proporcionals.
Pregunta 5
Sigui la funció f(x) = √(x + x - 2). a) Comproveu que la funció compleix el teorema de Bolzano a l’interval [0, 2]. b) Trobeu l’àrea limitada per la gràfica de la funció, l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 1.
La funció compleix el teorema de Bolzano perquè és contínua i canvia de signe. L’àrea es calcula integrant la funció entre els límits donats.
Pregunta 6
Uns estudiants han programat un full de càlcul per resoldre un sistema d’equacions. a) Escriviu el sistema i comproveu que la solució és correcta. b) Quin valor s'hauria de posar en lloc del 2 per fer el sistema incompatible?
El sistema és correcte si la solució satisfà totes les equacions. El sistema es torna incompatible si el rang de la matriu de coeficients és menor que el rang de la matriu ampliada.
