Considereu les rectes y = x i y = 2x, i la paràbola y = x^2. a) Calculeu els punts d’intersecció entre les gràfiques de les diferents funcions i feu un esbós de la regió limitada per les gràfiques. b) Calculeu l’àrea de la regió de l’apartat anterior.
Els punts d'intersecció es calculen resolent els sistemes d'equacions entre les funcions. L'àrea es calcula integrant les diferències de les funcions sobre els intervals determinats pels punts d'intersecció.
Pregunta 2
Considereu la matriu A = (1 0 a - 1, 1 a 1, 4 3a 1), en què a és un paràmetre real. a) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals la matriu és invertible. b) Discutiu la posició relativa dels plans π1: x + (a - 1)z = 0, π2: x + ay + z = 1 i π3: 4x + 3a y + z = 3 en funció dels valors del paràmetre a.
La matriu és invertible si el determinant no és zero. La posició relativa dels plans depèn del rang de la matriu i la matriu ampliada.
Pregunta 3
Siguin les matrius A = (2 -1, -6 3) i B = (1 1, 2 2). a) Calculeu A·B i B·A. b) Justifiqueu que si el producte de dues matrius quadrades no nul·les té per resultat la matriu nul·la, aleshores el determinant de totes dues matrius ha de ser zero.
El producte de matrius es calcula multiplicant files per columnes. Si el producte és la matriu nul·la, almenys un dels determinants ha de ser zero perquè no existeix la inversa.
Pregunta 4
Considereu la funció f(x) = 1/(1+x^2). a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquells punts en què la recta tangent és horitzontal. b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció f(x) en què el pendent de la recta tangent és màxim.
La recta tangent és horitzontal quan la derivada és zero. El pendent màxim es troba calculant la segona derivada i trobant els seus zeros.
Pregunta 5
Siguin P, Q i R els punts d’intersecció del pla d’equació x + 4y + 2z = 4 amb els tres eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament. a) Calculeu els punts P, Q i R, i el perímetre del triangle de vèrtexs P, Q i R. b) Calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs P, Q i R.
Els punts d'intersecció es troben fixant les altres coordenades a zero. El perímetre es calcula sumant les distàncies entre els punts. L'àrea es calcula amb el producte vectorial.
Pregunta 6
Considereu la funció f(x) = ln(x)/x. a) Calculeu el domini de la funció f, els punts de tall de la gràfica de f amb els eixos de coordenades, i els intervals de creixement i decreixement de f. b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció f, les rectes x = 1 i x = e, i l’eix de les abscisses.
El domini es determina per la definició del logaritme i la divisió. Els punts de tall es troben on la funció és zero. Els intervals de creixement es determinen amb la derivada. L'àrea es calcula integrant la funció entre els límits donats.
