Les pàgines d’un llibre han de tenir cada una 600 cm2 de superfície, amb uns marges al voltant del text de 2 cm a la part inferior, 3 cm a la part superior i 2 cm a cada costat. Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran possible.
La solució implica maximitzar l'àrea impresa restant els marges i utilitzant derivades per trobar el màxim.
Pregunta 2
Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: 2x + 3y + 2z = -1, x + ky + z = k, 3x + 7y + 7z = -3. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. b) Resoleu el sistema per al cas k = -1.
La discussió del sistema depèn del rang de la matriu de coeficients i la seva compatibilitat. Per k = -1, el sistema és compatible indeterminat.
Pregunta 3
Un dron es troba en el punt P = (-2, -3, 1) i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d’equació π: 3x + 4z + 15 = 0. a) Calculeu l’equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron. Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla? b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron.
La recta es determina pel punt inicial i el vector normal al pla. La distància es calcula amb la fórmula de distància punt a pla.
Pregunta 4
Considereu la funció f(x) = (2x^3 - 5x + 4) / (x - 1). a) Calculeu-ne el domini i estudieu-ne la continuïtat. Té cap asímptota vertical? b) Observeu que f(-2) = -2, f(0) = 4, i f(2) = 10. Raoneu si, a partir d’aquesta informació, podem deduir que l’interval (-2,0) conté un zero de la funció.
El domini exclou x = 1 on hi ha una asímptota vertical. El teorema de Bolzano s'aplica per trobar zeros en intervals continus.
Pregunta 5
Sigui la matriu M = (1 a; 0 a), en què a és un paràmetre real. a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a se satisfà la igualtat M^2 - 2M - I = 0, en què I és la matriu identitat i 0 és la matriu nul·la, totes dues d’ordre 2. b) Fent servir la igualtat de l’apartat anterior, trobeu una expressió general per a calcular la inversa de la matriu M i, a continuació, calculeu la inversa de M per al cas a = 2.
La igualtat es resol per trobar els valors de a. La inversa es calcula utilitzant la relació trobada.
Pregunta 6
Considereu les funcions f(x) = x^2 i g(x) = 1/x, i la recta x = e. a) Feu un esbós de la regió delimitada per les seves gràfiques i l’eix de les abscisses. Calculeu les coordenades del punt de tall de y = f(x) amb y = g(x). b) Calculeu l’àrea de la regió descrita en l’apartat anterior.
Els punts de tall es troben igualant les funcions. L'àrea es calcula integrant la diferència de les funcions en els límits trobats.
